École 2006-2009 : YVES ANDRÉ

[ On reconnaîtra aisément, dans ce projet de « cours de mathématiques pour des musiciens », une reprise variée, à 40 ans d’intervalle, du « cours de philosophie pour scientifiques » que Louis Althusser a organisé dans cette même École l’année 1967-1968. ]

Nous avons décidé de mettre en place, cette année, une « école » spéciale de mathématiques en direction des musiciens et autres non-mathématiciens.

Le principe en sera tout à fait singulier : il s’agira de rendre compréhensible un concept central de la mathématique la plus contemporaine à des non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la pensée mathématique la plus active, et sans économiser ni la spécificité de l’écriture mathématique, ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci ne saurait être, dans le cadre d’une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne s’agira pas d’« appliquer » les mathématiques à la musique, que ce soit sous une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus métaphorique. La ‘raisonance’ possible du concept mathématique avec la musique ne sera pas au cœur de l’exposé lequel visera, simplement (si l’on ose dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le contenu de pensée investi dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la théorie mathématique où il prend place), sans négliger, tout au contraire, les aperçus historiques qui peuvent permettre d’apprécier les problématiques au cœur desquelles se déploie le concept présenté.

Yves André (Cnrs-Ens) a bien voulu accepter la chaire de cette école.

Les concepts mathématiques envisagés sont – entre autres – ceux d’adjonction, d’algèbre de von Neumann, de motif et d’opérade.

Ces séances seront trimestrielles. Chaque séance devrait durer trois heures.

On commencera par une présentation des idées fondamentales de linéarisation et de représentation en mathématique, avant d’esquisser la théorie des représentations linéaires des groupes, initiée (dans le cas des groupes finis) par Frobenius à la fin du XIXe siècle. Un acteur majeur fut H. Weyl qui, en liaison avec ses travaux sur les fondements de la mécanique quantique, fit la jonction inattendue avec l’analyse harmonique de Fourier et créa l’analyse harmonique non-commutative.

Le rêve de Burnside de mettre à profit l’impressionnante effectivité de la théorie des représentations linéaires pour classifier tous les groupes finis simples s’est finalement réalisé au bout d’un siècle. Entre-temps, cette théorie avait permis à Killing et Cartan de classifier tous les groupes infinis « continus » simples. Nous terminerons en expliquant comment le problème général de classification des représentations linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage), et comment l’indécidabilité surgit au cœur de situations extrêmement concrètes et apparemment élémentaires.

La dualité est présente depuis la nuit des temps dans la pensée humaine. Elle était à la base de la conception du monde des anciens égyptiens, bâtie sur des doublets conceptuels antagonistes. Elle a traversé toute la philosophie occidentale, de Platon à Descartes et au-delà, en se modifiant considérablement. En physique, rappelons le rôle capital joué par la dualité onde-corpuscule dont l’histoire s’étend de Huygens et Newton à Heisenberg.

Aussi est-il curieux de constater que la dualité ne fait son entrée que tardivement en mathématiques, dans les années 1820 (à propos de géométrie projective). Cette idée fondamentale a peu à peu essaimé, sous divers avatars, dans toutes les branches des mathématiques, tout en conservant son sens original extrêmement précis.