École
École 2025-2026
L’école se tient à l’Ircam (1 Place Igor Stravinsky, 75004 Paris).
ATTENTION : jusqu’à l’été 2026, l’entrée se fait par le 31 rue Saint-Merri et l’école se tient en salle Stavinsky.
L’entrée est libre dans la mesure des places disponibles
Programme
| Intervenant | Thème | |
|---|---|---|
| 18 octobre 2025 | François Nicolas | Problématique |
| 29 novembre 2025 | Mirna Džamonja | Forcing (1) |
| 6 décembre 2025 | François Nicolas | Distributions (1) |
| 17 janvier 2026 | Mirna Džamonja | Forcing (2) |
| 7 février 2026 | François Nicolas | Distributions (2) |
| 21 mars 2026 [ salle Stravinsky ] | Alexander Niehoff-Toral | Badiou / Heidegger |
| 18 avril 2026 [ salle Stravinsky ] | François Nicolas | Extensions et généralisations |
| 30 mai 2026 [ salle Stravinsky ] | Pierre Laffitte |
Argumentaires
[ F. Nicolas ]
Problématique
Il s’agira dans cet atelier de dégager un éclairage intellectuel qui opère (potentiellement et plus ou moins secrètement) dans la pensée mathématique moderne (à partir de 1830) et contemporaine (depuis l’après-guerre).
Ce faisant, il ne s’agira donc pas d’appliquer ces mathématiques à des objets (physiques ou sociaux) mais, par analogies soigneusement calibrées, de faire résonner et réverbérer leurs modes de pensée dans d’autres modes de pensée – il s’agira donc d’implications possibles plutôt que d’applications effectives.
On s’autorisera pour ce faire de l’axiome par lequel Parménide fait équivaloir penser et être (« le même : penser et être ») en l’appropriant à la mathématique : penser mathématiquement l’être, c’est faire être mathématiquement la pensée (n’est-il pas vrai que toute démonstration mathématique prouve à la fois l’énoncé à démontrer et la possibilité de le démontrer dans le cadre d’une énonciation mathématique ?).
Autrement dit, la pensée mathématique de l’être se redouble en un être mathématique de la pensée, susceptible d’éclairer d’autres types (artistiques, philosophiques, politiques, voire amoureux) de pensée.
On l’aura pressenti : on étudiera la mathématique selon une orientation ontologique (la pensée mathématique touche à l’être) et non pas logiciste (la mathématique ne serait qu’un langage logiquement univoque).
Un nouveau cycle 2025-2029
Ce nouveau cycle prolongera et étendra un premier cycle (2021-2022) centré sur l’émergence des mathématiques modernes pré-cantoriennes (1828-1858) en incluant cette fois des mathématiques post-cantoriennes et proprement contemporaines.
Ce cycle privilégiera quatre domaines :
- l’analyse (plus particulièrement le calcul différentiel et intégral),
- l’algèbre (plus particulièrement l’algèbre des groupes différentiels et l’algèbre tensorielle),
- la géométrie contemporaine (plus particulièrement la géométrie algébrique),
- la logique mathématique (plus particulièrement le travail du négatif).
Prérequis
Cet atelier ne nécessite aucune compétence mathématique au-delà d’un Bac.
Par contre, il requiert la conviction que ce qu’un mathématicien a pu penser, n’importe quel autre être humain peut se l’approprier pour peu qu’il le veuille et qu’il s’en donne patiemment et courageusement les moyens.
Ces séances seront précisément là pour aider chacun à s’approprier ainsi les enjeux intellectuels de ces mathématiques.
[ M. Džamonja ]
Comprendre le forcing
Il y a quelques années de cela, j’ai relevé le défi d’enseigner la théorie des ensembles à des thésards d’autres disciplines que mathématiques. Je n’ai pas voulu répéter la manière habituelle d’enseigner ce que Cantor a produit au XIX° pour abandonner ensuite les étudiants au seuil de la fameuse méthode du forcing découverte par Cohen en 1963. Pour cela, j’ai inventé une méthode qui m’a amenée à écrire le livre Fast Track to Forcing, dont la première partie constituait le cours alors donné à ces étudiants. Les leçons pour mamuphi reprendront une version adaptée de ce livre.
La théorie des ensembles a commencé comme une partie de l’analyse mathématique. Cantor voulait alors répondre à une question à l’époque ouverte : e et π sont-ils les seuls nombres transcendants ? Il a alors démontré qu’en fait, la plupart des nombres réels sont transcendants (même si on ne sait toujours pas si le nombre e+π l’est également !). Sa théorie des ensembles a été rapidement remarquée par Hilbert qui a souhaité disposer ainsi toutes les mathématiques sur cette unique base en sorte que toute la vérité mathématique découle de ces fondements.
Dans les années 1930, le travail de Gödel sur l’incomplétude puis, en 1963, celui de Cohen sur la méthode de forcing ont complété l’exploration des impossibilités propres à ces fondements. La méthode du forcing permet de passer d’un modèle axiomatique M à un autre modèle M[G], pouvant parfois vérifier la négation d’énoncés vérifiables dans M. Cette méthode est étroitement reliée à la logique du premier ordre et elle doit beaucoup à la compréhension fine de cette logique développée par Gödel.
Séances
[ 18-10-2025 ]
F. Nicolas – Problématique générale de l’atelier : « Nous sommes toujours modernes ! »
Texte de l’exposé
Diapos de l’exposé
[ 29-11-2025 ]
M. Džamonja – Comprendre le Forcing en huit leçons : leçon n°1
© É. Thomas (2026)
[ 6-12-2025 ]
F. Nicolas – La théorie des distributions : leçon n°1
Texte de l’exposé
[ 17-01-2026 ]
M. Džamonja – Comprendre le Forcing en huit leçons : leçon n°2
[ 7-02-2026 ]
F. Nicolas – La théorie des distributions : leçon n°2
Argumentaire en tête du texte joint ci-dessous
Texte de l’exposé
Diapos de l’exposé
[ 21-03-2026 ]
A. Niehoff-Toral – Heideggers epistemic ἀπορία and the possibilities of their dissolution by the thinking of Alain Badiou
[ 18-04-2026 ]
F. Nicolas – Extensions et généralisations
Zoom : https://syddanskuni.zoom.us/j/69301067159?pwd=BDdpNLuMPvh43cnp5qiafxU6Z4HCEf.1
Password: 950577
I
La théorie des distributions nous présente une « généralisationde la notion de fonction » (Laurent Schwartz). En effet, une distribution sur un espace donné (ℝ ou ℂ) n’est pas une fonction agissant sur cet espace mais une forme linéaire sur l’espace vectoriel des fonctions agissant sur cet espace.
Cette généralisation correspond à une mutation de la notion de fonction (via les notions de fonctionnelle et de forme linéaire), non à une extension de son domaine d’application. Cette mutation-généralisation de la notion de fonction n’en constitue donc pas, à proprement parler, une adjonction-extension.
Voir ainsi par contraste deux exemples canoniques d’adjonction-extension :
- les adjonctions de Galois étendent le corps de résolution d’une équation algébrique – on étend ainsi le corps ℚ par adjonction de √2 en le nouveau corps ℚ[√2] ;
- l’adjonction des coupures de Dedekind étend le corps ℚ des nombres rationnels en le nouveau corps ℝ des nombres réels
II
Partant de là, il s’agira pour nous d’examiner plus systématiquement cette différence entre adjonctions-extensions (un genre donné se voit étendu à de nouvelles espèces) et mutations-généralisations (qui instaurent par contre un nouveau genre, englobant le précédent).
Nous rapprocherons pour cela trois exemples de mutations-généralisations :
- la généralisation du nombre (réel) en grandeur (complexe) par mutation de la multiplication arithmétique en un produit géométrique : ainsi, s’il y a bien extension de ℚ à ℝ, il y a par contre généralisation de ℝ à ℂ (et non pas extension par adjonction de i : ℂ≠ℝ[i] car il y a, dans ℂ, mutation des opérations « + » et surtout « × ») ;
- la généralisation de la notion de fonction en la notion de distribution par mutation des notions de fonctionnalité et de différentiabilité ;
- la généralisation de la notion d’espace topologique en celle de topos :
« La notion de topos constitue une métamorphose de la notion d’espace. Elle possède les deux caractères complémentaires essentiels pour toute généralisation fertile : la nouvelle notion n’est pas trop vaste (en ce sens que les intuitions et constructions peuvent se transposer de façon plus ou moins évidente) et en même temps assez vaste (pour englober une foule de situations jusque-là non intuitionnables). » Alexandre Grothendieck
III
Cet examen débouchera sur les enjeux proprement intellectuels (mamuphi oblige !) de cette distinction.
- Dans quelle mesure la distinction extensions/généralisations fait-elle écho à celle qu’établit Bachelard dans Poétique de l’espace entre résonances (extensions horizontales par unité de plan) et retentissements (généralisations verticales dans un espace orthogonalisé) ?
- De quelle manière une révolution par mutation-généralisation diffère-t-elle d’une révolution par adjonction-extension ? Pour ce faire, à l’image de l’enchaînement ℚ→ℝ par extension puis ℝ→ℂ par généralisation, on examinera au XX° siècle des enchaînements de différents types de révolution, en musique et en politique :
- l’enchaînement musical d’une révolution dodécaphoniste via la série de Schoenberg (étendue par Barraqué avec ses séries proliférantes) puis d’une révolution sérielle via la série généralisée – voir également la généralisation de la modulation, du contrepoint ou de la polyphonie (hétérophonie généralisatrice et pas seulement extensive) ;
- l’enchaînement politique en Chine d’une révolution démocratique (1928…) via les zones libérées puis, dans le cadre cette fois du socialisme (1953…), d’une révolution communiste (1958…) via les Communes populaires (rurales puis urbaines) : le communisme, extension ou généralisation du socialisme ?